نظرية فيثاغورس

 

• نظرية فيثاغورس
• تاريخ نظرية فيثاغورس
• مفاهيم متعلقة بنظرية فيثاغورس
• نص النظرية
  • مثال على تطبيق نظرية فيثاغورس
• استخدامات نظرية فيثاغورس
• اهمية النظرية
• إثبات بسيط لنظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النظريات في مجال الرياضيات وواحدة من أكثر الموضوعات المطلوب فهمها بين الطلاب.تُنسب هذه النظرية إلى عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس المولود عام 570 قبل الميلاد ،ويعتبر من مؤسسي علم الرياضيات،حيث سافر كثيراً في حياته لإكتساب المعرفة خاصة القواعد الرياضية والفلسفة ،ونشر العديد من النظيرات اهمها هي نظريته الشهيرة في علم الرياضيات (نظرية فيثاغورس).

ومن قصة فيثاغورس المعروفة أنه سافر إلى مصر حوالي 535 قبل الميلاد لمواصلة دراسته ، وتم أسره خلال غزو في 525 قبل الميلاد من قبل قمبيز الثاني من بلاد فارس ونقل إلى بابل ، وبعدها زار الهند.وسرعان ما استقر فيثاغورس في إيطاليا وأنشأ مدرسته الخاصة،ونُسبت العديد من النتائج الرياضية الذي درسها في مدرسته إلى اسمه.

تاريخ نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس ، المعروفة جيدًا للطلاب، ليست في الواقع اكتشافًا لفيثاغورس ، فقد كانت معروفة بالفعل في حالات معينة من قبل الصينيين والبابليين قبله بألف عام. كما عرف المصريون هذه النظرية قبله بألالف السنين.حيث استخدموا حبلًا مكونًا من 13 عقدة (موزعة بانتظام) والتي كانت ذات مرة تشكل المثلث القائم الزاوية 3 ؛ 4 ؛ 5 وجعل من الممكن الحصول على زاوية قائمة بين “طولين”.يظل استخدام هذا الحبل عمال البناء في القرن العشرين لضمان عمودية الجدراننوتم استبداله مؤخراً بأجهزة الليزر. ومع ذلك ، فإن فيثاغورس اول من استخدم وطبق النظرية في مدرسته على أي مثلث قائم الزاوية.

مفاهيم متعلقة بنظرية فيثاغورس

• المثلث هو  مضلع بثلاثة أضلاع.
• مجموع زوايا أي مثلث يصل إلى 180 درجة ؛
• المثلث القائم الزاوية هو مثلث حيث إحدى زواياه 90 درجة ؛
• الزاوية القائمة هي الزاوية 90 درجة
• في أي مثلث قائم الزاوية ، تسمى الأضلاع المتصلة للزاوية القائمة “ضلع” ،بينما أطول ضلع في المثلث القائم ، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة ، يسمى “الوتر”.

نص النظرية

ينص بيان النظرية على أنه إذا كانت الفرضية صحيحة ، فإن الأطروحة صحيحة .النقطة المهمة هي أنه بمجرد إثبات النظرية ، يمكننا استخدام بيان النظرية كحقيقة دائمة. يتم ذكر نظرية فيثاغورس على النحو التالي: إذا كان المثلث قائم الزاوية ، فإن مربع طول الوتر ( الضلع المقابل للزاوية القائمة ) يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين تشكيل الزاوية الصحيحة. بعبارة أخرى ، إذا كان ABC مثلثًا قائم الزاوية عند B ، فيكون: AC 2 = AB 2 + BC 2 . لاحظ أنه إذا كان AC 2 في المثلث لا يساوي AB 2 + BC 2 ، فيمكننا التأكيد على أن هذا المثلث ليس قائم الزاوية في B. وفي نظرية فيثاغورس ، يكون عكس النظرية صحيحًا أيضًا.حيث أنه إذا كان مربع طول ضلع واحد في المثلث مساويًا لمجموع مربعات أطوال ضلعين آخرين ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية ويسمى أطول ضلع له بالوتر .

مثال على تطبيق نظرية فيثاغورس

لنفترض أن لدينا مثلثًا قائمًا ، طول وتره يساوي 5 مترًا وطول إحدى ضلعيه 4 أمتار. اذن لحساب طول الضلع الأخر نستخدم نظرية فيثاغورس:

a 2 + b 2 = c 2 =   a 2 +16= 25

اذاً يكون طول الضلع الأخر هو 9 متر

استخدامات نظرية فيثاغورس

إن نظرية فيثاغورس  هي حجر الأساس للهندسة الديكارتية ، وبالتالي فقد أصبحت أداة أساسية في تطوير العلوم كما نعرفها اليوم.نظرية فيثاغورس لها تطبيقات وتستخدم في جميع مجالات العلوم ، لأن لديهم جميعًا أساسًا رياضيًا.ويمكن رؤية التطبيق الواقعي لنظرية فيثاغورس في الحياة اليومية وفي مختلف المجالات. فيما يلي بعض التطبيقات:

• للملاحة ، يتم حساب نظرية فيثاغورس من أجل إيجاد أقصر مسافة ، إلخ.
• من أجل التعرف على الوجوه في الكاميرات الأمنية ، فإن نظرية فيثاغورس مطلوبة لفهم مسافة الشخص عن الكاميرا.
• في المجالات الهندسية ، يستخدم فيثاغورس لحساب البعد غير المعروف ، على سبيل المثال ، قطر قطاع معين.
• في علم المحيطات ، تُستخدم صيغة النظرية لحساب سرعة الموجات الصوتية في الماء.
• تستخدم نظرية فيثاغورس في علم الأرصاد الجوية والفضاء لتحديد مصدر الصوت ونطاقه في الفضاء.
• يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد انحدار منظر طبيعي معين.
• في التنقل ، يتم استخدام النظرية للعثور على أقصر مسافة بين نقطتين معينتين.
• في الهندسة المعمارية والبناء ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على منحدر السقف ، ونظام الصرف ، وأعمدة الإنارة ، وما إلى ذلك.

اهمية النظرية

نظرية فيثاغورس تجعل من الممكن حساب طول أحد ضلعي المثلث عندما نعرف الضلعين الآخرين. أيضًا ، بمعرفة أطوال جميع الأضلاع ، يمكننا التحقق بدون مثلث أنه مستقيم (قائم). كما يمكن استخدامه أيضًا بكثرة في علم الفيزياء والميكانيكا ،على سبيل المثال إيجاد المسافة بين مراقب على ارتفاع معين ونقطة على الأرض من البرج أو المبنى الذي يشاهد الراصد النقطة فوقه. كما أنها تستخدم بشكل رئيسي في مجالات البناء والعمارة.

إثبات بسيط لنظرية فيثاغورس

هناك طرق عديدة لإثبات نظرية فيثاغورس منها جبرية وهندسية ،سنستخدم في هذا المقال اشهر طريقة لإثبات النظرية عن طريق الشكل الأتي:

• لإثبات النظرية سنقوم برسم خط متعامد على الوتر بحيث ينصفه،وبالتالي سيكون لدينا مثلثين (XOY)،(XYZ).
• بما ان الزاوية في كل من (XYZ)،(XOY) متساويين = 90 درجة.إذا فأن المثلثين متشابهين.
• بما ان المثلثين متشابهين فأن XO / XY = XY / XZ،ويمكن كتابة المعادلة بالصيغة الأتية(1) :XO × XZ = XY 2.
• من الناحية الأخرى لدينا مثلثين متشابهين وهم (∆YOZ)،(∆XYZ)،وبإستخدام نفس الصيغة السابقة سنحصل على المعادلة الأتية (2):OZ × XZ = YZ 2.

بجمع المعادلتين (1) و (2) نحصل على الأتي:

XO × XZ + OZ × XZ = (XY 2 + YZ 2 )  بأخذ (XO + OZ) عامل مشترك سنحصل على :

⇒ XZ × (XO + OZ)= (XY 2 + YZ 2 )
وعند النظر الى المثلث سنجد ان (XO + OZ)  = XZ
اذاً ⇒ XZ 2 = (XY 2 + YZ 2 )